2010年12月28日 星期二

「宋文」棋經十三篇_宋朝 張靖


   《傳》曰:「飽食終日,無所用心,不有博弈者乎?」

   桓譚《新論》曰:「世有圍棋之戲,或言是兵家之類。上者,遠其疏,張置以會,圍困而成,得道之勝。中者,則務相絕遮,要以爭便利,故勝負狐疑,須計數以定。下者,則守邊隅、趨作罫,以自生於小地。」

   春秋而下,代有其人,則奕棋之道,從來尚矣。今取勝敗之要,分十三篇,有與兵法合者,亦附於中云爾。

張靖序。


第一 棋局篇
   夫萬物之數,從一而起,局之路,三百六十有一。一者,生數之主,據其極而運四方也。三百六十,以象周天之數。分而為四,以象四時。隅各九十路,以象其日。外周七二路,以象其候。枯棋三百六十,白黑相半,以法陰陽。

   局之線道,謂之枰,線道之間,謂之罫。局方而靜,棋圓而動。自古及今,奕者無同局。《傳》曰:「日日新。」故宜用意深而存慮精,以求其勝負之由,則至其所未至矣。


第二 得算篇
   棋者,以正合其勢,以權制其敵。故計定於內,而勢成於外。

   戰未合而算勝者,得算多也。算不勝者,得算少也。戰已合而不知勝負者,無算也。兵法曰:「多算勝,少算不勝,而況於無算乎?由此觀之,勝負見矣。」


第三 權輿篇
   權輿者,弈棋布置,務守綱格。先於四隅分定勢子,然後拆二斜飛,下勢子一等。立二可以拆三,立三可以拆四。與勢子相望可以拆五。

   近不必比,遠不必乖。此皆古人之論,後學之規,舍此改作,未之或知。《詩》曰:「靡不有初,鮮克有終。」


第四 合戰篇
   博弈之道,貴乎嚴謹。高者在腹,下者在邊,中者占角。此棋家之常然。

   法曰:「寧輸數子,勿失一先。」有先而後,有後而先。擊左則視右,攻後則瞻前。兩生勿斷,皆活勿連。闊不可太疏,密不可太促。與其戀子以求生,不若棄之而取勢;與其無事而強行,不若因之而自補。

   彼眾我寡,先謀其生;我眾彼寡,務張其勢。善勝者不爭,善陣者不戰,善戰者不敗,善敗者不亂。夫棋始以正合,終以奇勝,必也。

   四顧其地,牢不可破,方可出人不意,掩人不備。凡敵無事而自補者,有侵襲之意也;棄小而不就者,有圖大之心也。隨手而下者,無謀之人也;不思而應者,取敗之道也。

   《詩》云:「惴惴小心,如臨於谷。」


第五 虛實篇
   夫弈棋,緒多則勢分,勢分則難救。投棋勿逼,逼則使彼實而我虛。虛則易攻,實則難破。臨時變通,宜勿執一。

   《傳》曰:「見可而進,知難而退。」又曰:「執中無權,猶執一也。」


第六 自知篇
   夫智者見於未萌,愚者暗於成事。

   故知己之害而圖彼之利者,勝。知可以戰不可以戰者,勝。識眾寡之用者,勝。以虞待不虞者,勝。以逸待勞者,勝。不戰而屈人者,勝。《老子》曰:「自知者明。」


第七 審局篇
   夫弈棋布勢,務相接連。自始至終,著著求先。臨局離爭,雌雄未決,毫厘不可以差焉。

   局勢已贏,專精求生。局勢已弱,銳意侵綽。沿邊而走,雖得其生者,敗。弱而不伏者,愈屈;躁而求勝者,多敗。兩勢相違,先蹙其外;勢孤援寡,則勿走。機危陣潰,則勿下。

   是故,棋有不走之走,不下之下。誤入者多方,成功者一路而已。能審局者則多勝矣。《易》曰:「窮則變,變則通,通則久。」


第八 度情篇
   人生而靜,其情難見;感物而動,然後可辯。推之於棋,勝敗可得而先驗。法曰:「夫持重而廉者多得,輕易而貪者多喪;不爭而自保者多勝,務殺而不顧者多敗。」

   因敗而思者,其勢進;戰勝而驕者,其勢退。求己弊不求人之弊者,益;攻其敵不知敵之攻己者,損。目凝一局者,其思周;心役他事者,其慮散。

   行遠而正者吉,機淺而詐者凶。能自畏敵者強,謂人莫己若者亡。意旁通者高,心執一者卑。語默有常,使敵難量。動靜無度,招人所惡。

   《詩》云:「他人有心,予時度之。」


第九 斜正篇
   或曰:「棋以變詐為務,劫殺為名,豈非詭道耶?」予曰:「不然。」

   《易》云:「師出以律,否臧,凶。」兵本不尚詐謀,謀言詭行者,乃戰國縱橫之說。棋雖小道,實與兵合。故棋之品甚繁,而弈之者不一。

   得品之下者,舉無思慮,動則變詐。或用手以影其勢,或發言以泄其機。

   得品之上者,則異於是,皆沉思而遠慮,因形而用權。神遊局內,意在子先。圖勝於無朕,滅行於未然。豈假言辭喋喋,手勢翩翩者哉?《傳》曰:「正而不譎。」其是之謂歟?


第十 洞微篇
   凡棋有益之而損者,有損之而益者。有侵而利者,有侵而害者。有宜左投者,有宜右投者。有先著者,有後著者。有緊辥者,有慢行者。粘子勿前,棄子思後。

   有始近而終遠者,有始少而終多者。欲強外先攻內,欲實東先擊西。路虛而無眼,則先覷。無害於他棋,則做劫。饒路則宜疏。受路則勿戰。擇地而侵,無礙則進。

   此皆棋家之幽微,不可不知也。《易》曰:「非天下之至精,其孰能與於此!」


第十一 名數篇
   夫弈棋者,凡下一子,皆有定名。棋之形勢,死生、存亡,因名而可見。有衝、斡、綽、約、飛、關、劄、粘、頂、尖、覷、門、打、斷、行、捺、立、點、聚、蹺、夾、拶、辥、刺、勒、撲、征、劫、持、殺、鬆、槃。

   圍棋之名,三十有二,圍棋之人,意在可周。臨局變化,遠近縱橫,吾不得而知也。用倖取勝,難逃此名。《傳》曰:「必也,正名乎!」棋之謂歟!


第十二 品格篇
   夫圍棋之品有九。一入神,二坐照,三具體,四通幽,五用智,六小巧,七鬥力,八若愚,九守拙。九品之外不可勝計,未能入格,今不複云。

   《傳》曰:「生而知之者,上也;學而知之者,次也;困而學之,又其次也。」


第十三 雜說篇
   夫棋邊不如角,角不如腹。約輕於捺,捺輕於辥。夾有虛實,打有情偽。逢綽多約,遇拶多粘。大眼可贏小眼,斜行不如正行。兩關對直則先覷,前途有礙則勿征。

   施行未成,不可先動,角盤曲四,局終乃亡。直四扳六,皆是活棋;花聚透點,多無生路。十字不可先紐;勢子在心,勿打角圖。弈不欲數,數則怠,怠則不精;弈不欲疏,疏則忘,忘則多失。

   勝不言,敗不語。振廉讓之風者,君子也;起忿怒之色者,小人也。高者無亢,卑者無怯。氣和而韻舒者,喜其將勝也。心動而色變者,憂其將敗也。赧莫赧於易,恥莫恥於盜。妙莫妙於用鬆,昏莫昏於複劫。

   凡棋直行三則改,方聚四則非。勝而路多,名曰贏局;敗而無路,名曰輸籌。皆籌為溢,停路為芇。打籌不得過三,淘子不限其數。劫有金井、轆轤,有無休之勢,有交遞之圖,弈棋者不可不知也。

   凡棋有敵手,有半先,有先兩,有桃花五,有北斗七。夫棋者有無之相生,遠近之相成,強弱之相形,利害之相傾,不可不察也。是以安而不泰,存而不驕。安而泰則危,存而驕則亡。《易》曰:「君子安而不忘危,存而不忘亡。」


   自宋以善弈顯名天下者,昔年待詔老劉宗,今日劉仲甫、楊中隱,以至王琬、孫侁、郭範、李百祥輩,人人皆能誦此十三篇,體其常而生其變也。

   古謂:「猶盤中走圓,橫斜曲直,繫於臨時,不盡可知。而必可知者,是圓不能出於盤也。」《棋經》,盤也;弈者,圓也。士君子無所用心,則可觀焉。

2010年12月27日 星期一

「新詩」有鹿_許悔之


        《有鹿》

         持續綻放之無聲花火
                   照亮夜空
            我們止步 手牽手
                   於彼大澤
              和一隻鹿 對望
                       良久

                       有鹿
                   有鹿哀愁
                 食野之百合

許悔之(1966-,台灣)
Editor: Irice You

「新詩」你來得太突然_路寒袖


        《你來得太突然》

         營火搖曳著
         星月競相於空蕩酒杯
         躑躅  流連
         帳外正起風
         遠處的群山
         逐漸
         發出幽微光
         為登高所準備的行囊
         已揹於肩上
         這時  你來了

               太突然

路寒袖(1958-,台灣)
Editor: Irice You

躑躅:ㄓˊㄓㄨˊ,係指徘徊不前狀。

2010年12月26日 星期日

「宋詞」蝶戀花_宋朝 王詵


                 《蝶戀花》

               小雨初晴回晚照
       金翠樓臺 倒影芙蓉沼
楊柳垂垂風裊裊 嫩荷無數青鈿小

         似此園林無限好
      流落歸來 到了心情好
坐到黃昏人悄悄 更應添得朱顏老

          宋朝 王詵

詵:ㄕㄢ,同「申」。有「問」(動詞)、「眾多樣」(形容詞)二義。   
沼:ㄓㄠˇ
鳥:ㄋ一ㄠˇ
鈿:ㄉ一ㄢˋ

「宋詞」卜算子(送鮑浩然之浙東)王觀

           《卜算子》送鮑浩然之浙東

          水是眼波橫 山是眉峰聚
      欲問行人去那邊 眉眼盈盈處

          才始送春歸 又送君歸去
      若到江南趕上春 千萬和春住

                      宋朝 王觀

《卜算子》本詞錄自《趙萬里輯冠柳集》

紀事
《能改齋漫錄》卷十六:王逐客送鮑浩然遊浙東,作長短句云:「水是眼波橫」云云。韓子蒼在海陵送葛亞卿詩斷章云:「今日一杯愁送君,明日一杯愁送君。君應萬里隨春去,若到桃源問歸路。」詩、詞意同。

2010年12月25日 星期六

「英詩」美_Charles Tomlinson

                        《美》

          現實非存於具體事物中
          而是應在行於言空間中
                      孜孜尋覓

                比如牆與牆之間
                    延伸之岸灘
                    從靜謐無聲
                        捽扯出
                    漠然的海韻


原文詩名:The Beauty
中文詩名:《美》
詩集:《一九五五至九七詩選集》(SelectedPoems1955-97,OxfordUniversityPress1997)
作者:CharlesTomlinson1927-,英國超現實派詩人)
譯者:彭予

「法詩」腐屍_Charles Pierre Baudelaire

                《腐屍》

                 親愛的
          想想我們剛看到的東西
          夏日清曉何其溫煦宜人
          小徑彎處一具醜惡腐屍
          於碎石床上橫臥著....

            略近探腰定睛一看
            這屍體還真是絕妙
            如盛開花朵般綻放
            臭氣是如此地強烈
               彷彿你就要
            昏厥暈倒於草地上


書名:《惡之華》(Lesfleursdumal)
作者:CharlesPierreBaudelaire(波特萊爾,1821-1867,法國象徵派詩人)
譯者:郭宏安

2010年12月17日 星期五

「宋詞」行香子_宋朝 蘇軾

               《行香子

                清夜如塵
                月色如銀
         酒斟時 須滿十分
       浮名浮利 虛苦勞神
  嘆隙中駒 石中火 夢中身

       雖抱文章 開口誰親
         且淘淘 樂盡天真
       幾時歸去 作箇閒人
  對一張琴 一壺酒 一溪雲

               宋朝 蘇軾

《行香子》本詞錄自彊邸叢書本《東坡樂府》,本調又名《爇心香》

製法:本作六十六字,分二叠。前後片句法字數同而平仄略異,如前片第一二句用韻,後片不用韻,前片第三句前三字為平平仄,後片則仄平平。第四五句同。第六句前為仄仄平平,後為仄平平仄。末兩句同。本調體製甚多,尚有六十四字一體,如趙長卿之「驕馬花驄」是。又六十六字三體,如竹山黃昇晁補之之「紅了櫻桃」及「寒意方濃」及「前歲栽桃」是。又六十八字一體,如杜壽之「黃金葉細」是。

詞評
天羽居士:天趣浮出,如不經心手。說得英雄,倏熱倏冷。學士一肚子不合時宜,真相知。(《草堂詩餘》續集卷下
孟玉曰:波仙境高,讀此詞有飄然出塵之感。

彊:ㄑ一ㄤˊ
邸:ㄉ一ˇ
爇:ㄖㄜˋ
叠:ㄉ一ㄝˊ
仄:ㄗㄜˋ

2010年12月15日 星期三

「宋詩」記仙女三絕_宋朝 董嗣杲

        《記仙女三絕》

柳條金嫩不勝鴉 青粉牆頭道韞家
燕子不來春寂寂  小窗和雨夢梨花

松影侵壇琳觀靜 桃花流水石橋寒
東風吹過雙蝶飛 人倚危樓第幾闌

屈曲闌干月半規 藕花香淡水漣漪
分明一夜文姬夢 唯有雙團扇方知

考據:按此首係詩非詞。因明 楊慎所著《詞品》所述,《詞統》因之作無名氏詞。清 厲鄂《宋詞紀事》卷九十八題為無名女仙詩。今人《全唐詩續拾》卷五十六據此作無名氏詩。按南宋 周密《齊東野語》卷十六「降仙」條云:「董無益嘗記女仙三絕句云:『柳條金嫩不勝鴉(下略)。』」考董無益即董嗣杲,宋末元初人,字明德,號靜傳。杭州人,宋亡,入山為道士,改名思學,字無益。其詩請見《宋史》卷二。

韞:ㄩㄣˋ
漣漪:ㄌ一ㄢˊ一
文姬:漢 蔡文姬,係東漢名士蔡邕之女。在此引用「文姬歸漢」之典故。
邕:ㄩㄥ
厲鄂:ㄌ一ˋㄜˋ,厲為姓,鄂為名,清 文人。
嗣:ㄙˋ
杲:ㄍㄠˇ

雙團扇:在此係指宋 晏幾道《採桑子》一詞之典故:

高吟爛醉淮西月
詩酒相留  明日歸舟
碧藕花中醉過秋

文姬贈別雙團扇
自寫銀鉤  散盡離愁
攜得春風出畫樓

註:某些詞句已略加改編,非原作。
另:「雙蝴蝶」改為「
雙蝶飛」,「只有青團扇子知」改為「唯有雙團扇方知」,特此說明。

2010年12月14日 星期二

「詞」小秦王_無名氏

               《小秦王》

          柳條金嫩不勝鴉
          青粉牆頭道韞家
          燕子不來春寂寂
          小窗和雨夢梨花

                  無名氏

詞評
明 楊慎:「唐人絕句多作樂府歌,而七言絕句隨名變腔。如《水調歌頭》《春鶯轉》《胡渭州》《小秦王》《三台》《清平調》《陽關》《雨淋鈴》,皆是七言絕句而異其名,其腔調不可考矣。予愛小秦王三首,《詞統》因之作無名氏詞。」(《詞品》

另兩首為

          雁門山上雁初飛
          馬邑闌中馬正肥
          陌上朝來逢驛騎
          殷勤南北送征衣

           倡家女 盛小叢

與:

          十指纖纖玉筍紅
          雁行輕度翠弦中
          分明自說長城苦
          水闊雲寒一夜風

                  無名氏

韞:ㄩㄣˋ
邑:一ˋ
陌:ㄇㄛˋ
驛:一ˋ

「新詩」孤蓬庵_京都十首_戴天

              《孤蓬庵》京都十首之一

             想見了煙波
                   瀚渺
              未晚 腳步
              雞鳴 眼睛
           和一去無回的
                   飄然
               浪子衣襟
                     及
             蘆葦蔽道
                   寥廓
               幽邃靜謐

      戴天 (1937-,香港)


註:某些詞句已略加改編,非原作。

「新詩」雁_白荻

      《雁》

我們仍活著 仍得飛行
在無邊際的浩瀚天空
地平線永遠在遠處向後退
引逗著我們
活著 不斷地追逐
感覺已近在眉睫 而抬頭依舊在天際

仍是我們祖先飛過的天空
廣大虛無 如一句不變的叮嚀
我們仍是如祖先的翅膀 鼓振於風尖
繼續著一個意志陷入一個
永無休止的夢魘

黑色的大地與
無底的蔚藍天空之間
前途祇是一條地平線
引逗著我們
我們將緩緩在追逐中而逝 如
夕陽不知覺的冷去 
而生者仍得飛行
繼續懸空於無垠之中
孤獨如風中一葉

而冷冷的雲翳 
冷冷地注視著我們
一如既往


白荻 (1937-,台灣)

註:某些詞句已改編,排版亦不同,絕非原作。

雲翳:ㄩㄣˊ一ˋ

2010年12月12日 星期日

「讀書心得」About Two and N Prisoners' Dilemma Games, Dominant Strategy and Nash Equilibrium

《兩人囚犯困境、優勢策略、納許均衡之相關淺見,並自行假設兩人暨多人囚犯困境之數學雛型》


1.〈Two Prisoners' Dilemma Games

Suppose that:警方抓到兩囚犯(甲與乙),分別訊問 



甲、乙可採用之策略的集合各為 X,Y = {否認,承認}
甲乙皆否認,各關一年。(-1,-1)
甲乙皆承認,各關六年。(-6,-6)
甲否認,乙承認,甲關九年,乙釋放。(-9,0)
甲承認,乙否認,甲釋放,乙關九年。(0,-9)



對甲,{max(x)M(x1,yj)M(x2,yj), j=1,2} = {0,-6}。由此可見,甲最適反應為「承認」((0,-9),(-6,-6))

對乙,{max(y)M(xi,y1)M(xi,y2), i=1,2} = {0,-6}。由此可見,乙最適反應亦為「承認」((0,-9),(-6,-6))

此亦為 Dominant Strategy (優勢策略),其定義為:無論對手如何因應,所作決定皆為自身最好的選擇 (關六年總比關九年好。=.=)

關於 Prisoner's Dilemma Games 的應變策略,白話一點就是說:視對方可能出的所有策略,找出對自己最有利的策略並加以因應。

對甲來說,乙有兩種策略。

一種是乙「否認」。
那時自己也有兩種策略,一是否認 (-1,-1),另一種是承認 (0,-9)"-1" "0",有利的當然是 "o" 囉,所以選擇「承認」。

一種是乙「承認」。
同樣地,甲也有兩種策略,一是否認 (-9,0),另一種是承認 (-6,-6)"-9" "-6",有利的當然是 "-6" (關六年,總比關九年好) 囉,所以當然選「承認」。

對乙來說,甲有兩種策略。

一種是甲「否認」。
那時乙有兩種策略,一為否認 (-1,-1),另一種是承認 (-9,0)"0" 當然比 "-1" 好,所以當然選「承認」囉。

一種是甲「承認」。
那時乙有兩種策略,一為否認 (0,-9),另一種是承認 (-6,-6)"-6" 當然比 "-9" 好,所以一定要選「承認」囉。

其實「理想且理性」的方法是:兩人都選「否認」,這樣只要關一年就出來了,不用都被關六年。但古書《增廣賢文》有云:「莫信直中直,須防仁不仁。」如果一昧信任他人,自己樂觀地選擇「否認」,而他人選「承認」,那自己就要被關九年,而對方卻是無罪釋放了 (人家如今成了罪犯、壞人嗎?=.=)

所以遇到這種進退失據的情形時,「最實際且理想」之最佳策略就是:從最壞的打算裡,找出對自己最有利的策略 (先取 min,再取 Max,也就是「最大的極小策略均衡」(min-Max Equilibrium))


此外,Dominant Strategy (優勢策略) 一定是 Nash Equilibrium (納許均衡),但反之亦未必成立 (Nash Equilibrium 不一定都是 Dominant Strategy)

範例:甲、乙兩家公司考慮同時推出新產品



甲、乙可採用之策略的集合各為 X,Y = {推出新產品,不推出}

對甲,{max(x)M(x1,yj)M(x2,yj), j=1,2} = {10,15}。由此可見,甲最適反應為「推出」((10,2),(15,0))

對乙,{max(y)M(xi,y1)M(xi,y2), i=1,2} = {2,5}。由此可見,乙沒有優勢策略 ((10,2),(12,5))

當甲推出新產品時,乙的最適反應為「推出新產品」((10,2),(15,0))
但甲不推出時,乙最適反應卻為「不推出」((3,3),(12,5))

兩者矛盾,所以乙並無優勢策略解。

那麼,乙雖沒有 Dominant Strategy,但要如何求甲乙的 Nash Equilibrium 呢?

很簡單啊。請看對手的策略:甲有優勢策略,「一定會推出」新產品,所以乙可輕易從甲反應裡,找出對自己最有利的策略並加以因應,這樣不就好了嗎。超容易解決的啦。=.= ((10,2),(15,0))

所以本範例之 Nash Equilibrium 為「甲乙皆推出新產品」,其解為(10,2)


此外,兩人的 Nash Equilibrium,亦可能發生雙重解 (Dominant Strategy 有唯一解,但 Dominant Strategy 經常不存在;一定會有 Nash Equilibrium,但 Nash Equilibrium 不一定只有一個)

範例:男女朋友約會,討論該去看球賽抑或聽音樂會



對男,{max(x)M(x1,yj)M(x2,yj), j=1,2} = {2,1}。由此可見,甲沒有優勢策略 ((2,1),(1,2))

對女,{max(y)M(xi,y1)M(xi,y2), i=1,2} = {1,2}。由此可見,乙沒有優勢策略 ((2,1),(1,2))

但有雙重 Nash Equilibrium,就是 (2,1) (1,2)


還有「志願者困境」:n 個參與者,n(-IN\{1}(n is every positive integer) 每人都面臨要麼犧牲自己的部分利益,以成就他人;要麼選擇搭便車取巧方式,安心坐享其成。此多人困境,讓我想到 N Prisoners' Dilemma Games(多位囚犯之困境,稍微複雜一些的基礎賽局論。)


2.〈N Prisoners' Dilemma Games

範例情境:某社區深夜傳出槍聲,社區里所有居民都聽到了,只要有一人打 110,警察就會趕到。但如果沒有志願者,所有人都將面臨不定程度的恐懼;而有一個人決定做志願者,其他人都會因為沒作為而獲益。

For every positive integer "n" (nIN\{1}), there is a corresponding number "an" and so a sequence {an} can be defined as a function whose domain is the set of positive integers.
(Graph of f = {(x,f(x))xdomain of f})

1. No one calls 110, the finite series, nth partial sum "Sn", "Sn" is convergent and Sn = a1+a2+...+an = 0 = ak where "k" is any element of "n", nIN.

2. If there exists a number "ai", "ai" is anyone of n inhabitants and he/she is a volunteer whose ai=-1, and the finite series, the nth partial sum "S(n-1)", "S(n-1)" is divergent where every number of which is "ah", ah=1, hIN\{i}.


將上頭的數學語言 (1.& 2.) 翻譯為白話文:

1. 無人打 110,每個人皆無損亦無得。
2. 有一人打 110,其損失 1,其他所有人得 1

使用直接証法〉數學歸納法〉皆可證出:


一、Proof by Direct Method (直接証法〉)

For every number ar, rIN,{max(ar)M(ar,as),sIN\{r}} = {0,1}由此可輕易判斷出,"ar" (every inhabitant) 最適反應為:「不打電話。」(只要自己不用打電話因而損失 1,就好了啦。)

We have proved that if the hypothesis is true, then the conclusion is true; so the proof is complete.


二、Proof by Induction (數學歸納法〉)

r=1, {max(a1)M(a1,as),sIN\{1}} = {0,1}。由此可輕易判斷出,"a1" 最適反應為:「不打電話。」

r=t1, {max(at)M(at,as),sIN\{t}} = {0,1}。由此可輕易判斷出,"at" 最適反應為:「不打電話。」

r=t+1, {max(a(t+1))M(a(t+1),as),sIN\{(t+1)}} = {0,1}。由此可輕易判斷出,"a(t+1)" 最適反應為:「不打電話。」

Therefore, the inequality is true for all n by induction, nIN. This shows, by mathematical induction, that "an" won't call 110 for every positive positive integer "n".


By Proof by Direct Method or Proof by Induction, We can get the same dominant strategy that the finite series, the nth partial sum "Sn", "Sn" is convergent and Sn = a1+a2+...+an = 0 = ak where "k" is any element of "n", nIN. (翻譯為中文:「無論使用直接証法〉或數學歸納法〉,所得之最適結論皆為『無人打電話』,由此得証。」)


結論:人都是自私的,不願意躬先士卒,做那種對自己有害但對大眾有利的義舉。大多都想讓別人送死先犧牲 (「送死」、「犧牲」這兩個詞,好像用的太過火了),而自己坐享其成。但每個人都打如意主意,最終結果就是一起擺爛,大家賺不成。


但另一種情形下,結果就迥然不同了:


For every positive integer "n" (nIN\{1}), there is a corresponding number "an" and so a sequence {an} can be defined as a function whose domain is the set of positive integers.

1. No one calls 110, the finite series, the nth partial sum "Sn", "Sn" is divergent where every number of which "an", an=-k, where "-k" sufferings wrung all inhabitants.

2. If there exists a number "ai", "ai" is anyone of n inhabitants and he/she is a volunteer whose ai=-1, and the finite series, the nth partial sum "S(n-1)", "S(n-1)" is divergent. However, every number of "S(n-1) is "ah", ah=c where c makes all inhabitants with exultation.


結論:如果那個 -k  (每位居民所蒙受的損失值,我們假設同為 "-k"。我知道這不可能,但人家懶得再假設了啦,好麻煩。就當作是「理想」狀態。=.=) 大到讓居民認為「即使沒人打電話,我也要趕緊通報,因為賠不起這些損失阿。」(No one calls 110, the finite series, the nth partial sum "Sn", "Sn" is divergent where every number of which "an", an=-k, where "-k" sufferings wrung all inhabitants.) 那這個困境就解決了。

而且結果只是一人「稍受」損失,得到的收益卻是極大的 (指的是與沒打 110,全體居民所受損失相較的話。) (and the finite series, the nth partial sum "S(n-1)", "S(n-1)" is divergent. However, every number of "S(n-1) is "ah", ah=c where c makes all inhabitants with exultation.)

所以了,不是所有的困境都是大家一起擺爛,皆無作為。舉個貼切的例子好了,如果社區裡發生火災,所有居民會選擇坐視不管,寧可讓大火蔓延燒到自家也不打電話,就是死眉瞪眼地等著別人叫消防車?絕不可能吧。=.=

Ref.
1. The Def. Of Two Prisoners' Dilemma Games
2. CALCULUS: Concepts AND Contexts, James Stewart, McMaster University
3. FOUNDATIONS OF HIGHER MATHEMATICS, THIRD EDITION, PETER FLETCHER & C. WAYNE PATTY, VPI & State University